如果有人问我相对论是什么，那么我会说：它是四维时空中的一个对称性。也许你马上就会问：时间收缩效应、尺缩效应和空间弯曲之类的东西和对称性有什么关系呢？其实，最著名的光速不变原理就是对称的一种体现，不管你的参考系是什么样的测到的光速都是299792458。这就如同你不管从那个方向观察一个球体你看到的都是一个圆一样，球体也就具有一种对称性。

对称性是物理学中最基础的规律，与一般的物理定理不同，它是一种“定律的定律”，它就像上帝一样要求任何一个定律都要满足一定的对称性。在我们熟悉的经典力学里面就存在对称性，像$\vec{F}=m\vec{a}$，你不管怎么平移或者旋转坐标，这个公式的形式还是保持不变，所以我们说牛顿定律具有三维空间（$R^3$）中的平移对称性和旋转对称性，对应的变换称为伽利略变换。

其实我觉得，相对论和牛顿定律并没有本质区别，它只是一个具有不同的对称性的理论。相对论将牛顿定律中三维空间中的伽利略变换推广到了四维时空（$R^4$）中，这种新的变换称为洛伦兹变换，由于这个对称性的改变而导致了一系列新的物理定律。

那么，相对论的对称具体是怎么描述的呢？为了回答这个问题，我们先来看一下洛伦兹变换。

• 洛伦兹变换
• 时空的定义及性质
• 洛伦兹群
• 相对论中的动力学和电磁学

我们先来看一下一维空间中的洛伦兹变换：

也许你已经发现了，$(ct)^2-x^2$在洛伦兹变换下保持不变，因此这是相对论中的一个不变量，我们把它记为$S^2$，即$S^2=(ct)^2-x^2$。 记得二维空间中一个矢量$(x,y)$的长度定义为$L^2=x^2+y^2$，而且如果旋转矢量的方向，它的长度保持不变。于是我们就想，如果我们认为$S^2$也是一种矢量“长度”，那么洛伦兹变换就是它的“旋转变换”！于是，以$ct$和$x$这两个量为坐标构成了一个新的二维空间，我们把它称为二维时空。一个时空就对应着一个参考系，时空中的每一点都表示事件。

简单说一下二维时空

这个新定义的空间性质与一般的二维空间有很大的不同，最大的就是这个空间中的“圆”，即$S^2=常数$所确定的曲线是双曲线。并且洛伦兹变换是时空中的“旋转”变换，但已经没有了周期性，所以我们也把洛伦兹变换叫做伪转动（boost），转动是把两个坐标轴向同一个方向转动，伪转动则是把两个坐标轴都向中间“挤”。

图中的四个箭头就是双曲线上的点在洛伦兹变换时的移动方向（不是转坐标轴哦）。 二维时空有这些性质：

• 二维时空很像我们高中物理里面讲的$S-t$图，但我们不能像看$S-t$图那样把$ct$当成时间轴把$x$当成位置来看时空图。两个坐标$ct$和$x$的都具有长度的量纲，这暗示了它们的统一性。洛伦兹变换混合了这两个坐标，也就是说，坐标$ct$在我看来是时间坐标，但在变换了一个参考系后它就成了一条斜线，即时间坐标和空间坐标的混合。所以时间和空间在相对论中实际上就是同一个东西。
• 物体在时空中的轨迹称为世界线，世界线的“长度”就是这个物体的固有时，就是这个物体自己测得的自己的时间。
• 整个二维时空被$ct=x$和$ct=-x$分成了四个区域，根据距离的定义$S^2=(ct)^2-x^2$我们发现，终点在白色区域内的矢量的模方（即长度的平方）是正的，而在蓝色区域内的为负，刚好在分界线上的为0。我们把这三种矢量分别叫做类时矢量、类空矢量和类光矢量。
• 我们还发现，矢量在经历洛伦兹变换时它的终点就会一直在同一条双曲线上，所以洛伦兹变换不能将矢量在区域之间变换，也不能改变矢量的类时类空性。
• 如果有两个事件分别位于O点和A点，它们之间的间隔就满足$ct>x$，所以信息可以从O传播到A点，我们就说O和A是有因果联系的，同时我们发现洛伦兹变换不能交换O和A的先后顺序； 如果把A点移到B点，那么信息就不能从O传播到B，此时O和B是没有因果联系的，洛伦兹变换可以交换O和B的先后顺序。

现在我们将上面的一维空间推广到三维，此时的时空就成为了四维时空（3+1维），我们很容易地把二维时空的距离定义推广到四维：

这时我们发现，整个对称变换包含了三维坐标$(x,y,z)$间的旋转变换以及坐标$ct$与三维坐标之一间的洛伦兹变换。我们可以把这个更大的变换表示为一个统一的矩阵${\bf\Lambda}$。 由于${\bf\Lambda}$涉及到了转动和伪转动的具体方向，它的具体形式较为复杂，不便于分析，所以我们只需要求出${\bf\Lambda}$满足的条件。为此，我们把$S^2$写成矩阵形式，设

那么

其中矩阵${\bf g}$称为闵科夫斯基度规，它决定了一个空间中的距离的定义。一般的几何四维空间的度规就是单位矩阵，这也就说明了时空和空间的区别就在于它们的度规不同。

现在我们来讨论${\bf \Lambda}$满足的条件。我们做一个洛伦兹变换${\bf x}={\bf\Lambda}{\bf y}$，代入$S^2$的表达式我们得到

因此${\bf\Lambda}^T{\bf g}{\bf\Lambda}={\bf g}$ 这时我们发现，如果有两个矩阵${\bf\Lambda}_{1}$和${\bf\Lambda}_{2}$都满足这个洛伦兹变换的条件，那么它们的积${\bf\Lambda}_{1}{\bf\Lambda}_{2}$也满足这个条件，即它是一个新的洛伦兹变换。我们令集合$L$为所有洛伦兹变换的集合，那么$L$中任意两个元素的积也属于$L$。数学上把这样的集合称为群，物理中用于描述对称性。由于$L$的元素都是洛伦兹变换，因此$L$也被称为洛伦兹群，相对论的所有对称变换都在这个群里面。

如果你搞清楚了洛伦兹变换，那么理论上相对论你就完全搞懂了，因为相对论中的所有结论都是洛伦兹变换导致的。下面我们从动力学以及电磁学中来具体看一下。

动力学

我们熟悉的时间收缩、尺缩效应就是洛伦兹变换的特例。我们令$t=0$就得到尺缩效应公式，令$x=0$就得到时间收缩效应公式。

那么质量变换公式呢？这涉及到了相对论的动力学公式。我们熟悉的牛顿第二定律$\vec{F}=m\vec{a}$在洛伦兹变换下并不会保持形式不变，所以它并不是相对论所允许的。但是，如果我们把它改成这个形式：

大家可以把洛伦兹变换代进去算一下，会发现它的形式是保持不变的。因此这个公式是符合相对论的对称性的，我们把这样的性质称为相对论协变性。 这个公式我们可以这样解释：它是把动量定理$d(m\vec{v})=\vec{F}dt$中的常数质量$m$替换为了与速度有关的质量，即

这样做的物理意义就是任何物体的质量会随着它的速度的增大而增大！设$m_0$为静质量，那么

这就是质量变换公式。

电磁学

在讨论电磁学时我们会发现它的对称性更明显（可以去维基看一下）。我们知道，电磁学的所有规律都被麦克斯韦方程组完全描述，更完美的是，这组方程具有天生的相对论协变性！何以见得？虽然从方程本身不易看出，但我们可以考虑由麦克斯韦方程得出的波动方程：

这两个方程曾使麦克斯韦激动了很长时间，因为它们意味着真空中的电磁波是以光速传播的。不仅如此，这两个方程还具有很明显的相对论协变性： 我们可以定义一个哈密尔顿算符的四维类比：${\bf\partial}=({\partial\over\partial(ct)},\nabla)$，那么上面的两个公式可以写成：

它在洛伦兹变换${\bf x}\to{\bf\Lambda}{\bf x}$下的变换为$\partial\to{\bf\Lambda}^{-1}\partial$，代入上面，我们发现它是不变的：

这也就意味着，电磁场的波动方程与参考系无关，所以传播速度也与参考系无关，从另一个角度反映了光速不变原理！ 在波动方程左边出现的那个算符一般我们都直接写成$\partial^2$，这个算符我们把它叫做达朗贝尔算符，被它作用的量一定是相对论协变的。物理中还有很多地方出现了达朗贝尔算符，如微弱振动的波动方程、量子场论中的克莱因－高登方程、格林函数等。

//注：在物理中一般不用我上面的那种记法，一般用的是有很多上下标的那种，由于用那种“正统”记法需要额外讲的东西很多，所以这里就做了一下简化。