倒立的单摆
不久前在physixfan的博客上看到了关于倒立单摆稳定性的讨论，这里给大家简单介绍一下。
倒立单摆是什么？
顾名思义，即稳定点在最高点()而不是最低点()的单摆。怎么做到的呢？显然，要在一般的单摆上稍加修改。我们将单摆的悬挂点固定在一个可以做上下简谐运动的机械臂上，它的频率远高于单摆固有频率，振幅远小于单摆，那么当它的振幅和频率满足一定条件时摆最终就会稳定在最高点。注意，整个装置没有任何反馈！仅仅只需要合适的频率和振幅。
分析
这个问题的关键就是那个高频的驱动力作用于单摆时产生了一个低频（即和单摆固有频率差不多）的驱动力，从而使得单摆在最高点附近原本上凸的势能变为了下凹的，这种能产生低频效应的高频力被称为Ponderomotive Force，最早是在振荡电场中发现的，他就是说一个处在高频振荡的力场中的物体，如果力场的振幅不是处处相等的，那么这个物体就有向振幅较小的位置运动的趋势。在下面我们将看到倒立单摆正好符合这种情况。
我当时看到倒摆时，立刻就联想到了IYPT上的一道题：
磁力摆
制作一个在自由端有一个小磁体的轻质摆。一个相邻的连接到频率远高于摆固有频率的交流电源的电磁铁可以导致不同振幅的无阻尼振动。研究并解释这一现象。
这道题和倒立单摆有很多联系。对于倒摆如果我们以它的悬挂点为参考系，那么这个单摆就等效为受到一个竖直方向上的周期性驱动力。更加具体地，单摆所受到的有效驱动力，即径向分力，为其中为单摆所受到的等效驱动力，为一简谐振动。所以，单摆受到的驱动力是一个调幅力，当摆处于最上端和最下端时振幅为零。于是根据上面Ponderomotive Force的定义，单摆将会有向最上端和最下端运动的趋势。简单地想，存在这种可能：当单摆摆到最上面附近时，驱动力正好使它继续向上运动，当摆稍微向上运动后驱动力的振幅也就随之而减小，以至于就算驱动力反向都不足以使摆锤离开顶端，从而导致最上面成为稳定点。
关于倒摆具体的定量分析，大家可以去physixfan那里看一下，在此就不重复了，他基本的思路就是通过求平均值来消除驱动力的高频部分从而将他的低频贡献保留下来。
Mathematica实验
为了对倒摆有一个更加直接的感受，我用Mathematica求解了倒摆在驱动力取不同频率时的数值解：
这下清晰多了吧。上图中横轴是时间；纵轴是摆幅，单位为弧度；参数a代表频率。我们可以看到，开始单摆还是逐渐稳定在最低点，大概当时，曲线突然一闪，稳定在了左右的位置，也就是最高点，此时单摆也就倒立单摆。随着驱动力频率的增大，单摆变为倒摆几乎是突变。我曾画出过单摆的最终稳定点和驱动力频率的关系，结果是一条阶梯形折线，而且不管我怎么放大它还是阶梯形折线！
下面是单摆的相空间图像随驱动力频率的变化，即水平方向是单摆的摆幅，垂直方向是（径向）速度：
可以看到，也是突变。
现在再来看上面那道题。虽然题中描述的并不是一个倒立单摆，但那个高频交变电流使得单摆受到了类似于Ponderomotive Force的磁场力并产生了低频效应，从而使得单摆可以做无阻尼振荡。具体地，如果磁场是竖直方向的，那么情况就和倒立单摆一样了，如果是水平方向的，由于单摆在两个水平位置时受到的磁场力为零，这使得它有向水平位置运动的趋势，而由于重力又使得它要回到竖直的平衡位置，两个一综合，它就做无阻尼的摆动了。